Sean
A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación
establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento
de A le corresponde un único elemento de B.1
Para representar las funciones se suele utilizar la notación: f : A ®B para los conjuntos, f(x) = y para los elementos
A se llama conjunto inicial y B es el conjunto final f(x) = y se expresa como y es la imagen de x a través de la aplicación f.
Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más
interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En los próximos
temas
vamos a estudiar funciones definidas en el conjunto de los números
reales: las funciones reales (conjunto final) de variable real (conjunto
inicial), 
En
el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones
particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones
unitarias para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro
Rhind o Papiro Ahmes, de
unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva
Detalle del Papiro Ahmes
La
pregunta que cabe hacerse ahora es: ¿cómo se ha llegado hasta aquí?. Es
importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del
tiempo; su significado fue cambiando y también la forma en que se
definía, ganando precisión a través de los años.
Lo
más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia. En las matemáticas
babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los
inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen
funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios
conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones
específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función
En
la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en
un sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no
sólo de fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto
abstracto (y moderno) de función.
La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323-
1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de
dependencia
entre dos magnitudes. Fue el primero en hacer uso sistemático de
diagramas para representar magnitudes variables en un plano.Nicole de Oresme
En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la
naturaleza,
poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinan
dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos.
Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas
mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado.
Galileo
Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con
mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contiene la clara
comprensión de una relación entre variables. Entre las funciones que
estudió Galileo destacan, por sus sorprendentes consecuencias: La
función uno-a-uno n®n2 entre los naturales y sus cuadrados, que
demuestra que hay tantos números naturales como cuadrados perfectos.
Casi
al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes
(1596- 1650) introducía la geometría analítica. Descartes desarrolló y
llevó a sus fundamentales consecuencias las ideas que siglos atrás se
habían usado para representar en el plano relaciones entre magnitudes.
Ahora cualquier curva del plano podía ser expresada en términos de
ecuaciones y cualquier ecuación que relaciona dos variables podría ser
representada geométricamente en un plano. A finales del siglo XVII
aparece por primera vez el término función. En palabras de
Johann Bernoulli
“Una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades determinadas y constantes”.
Pero no fue hasta 1748 cuando concepto de función saltó a la fama en matemáticas.
Johann Bernoulli
Leonhard Euler
Uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos,
publicó un libro, Introducción al análisis infinito, en el definió
función como:
- Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantida
variable y de números o cantidades constantes Retrato de Leonhard Euler
Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en 1755, tuvo que precisar su definición:
-
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas
últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras
cantidades se llaman funciones de las segundas.
Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o
representarla?, ¿cómo deben cambiar los valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?
Muchos
matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y
adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo poco a
poco el concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat dio en
1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy
en día:
- Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)
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