FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.  Como la notación f1  se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el  “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. 

Definición:  El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces logb y = x  si y sólo si  y = bx.

Nota:  La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 52 = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2.   De  manera que,  log5 25 = 2  es  equivalente a  52 = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2)  También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log10 3  está definido, pero el log10 0  y  log10 (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.